Autoregressive Moving Average Mit Exogenen Variablen

ARIMA-Modelle mit Regressoren Ein ARIMA-Modell kann als ein spezielles Regressionsmodell betrachtet werden, bei dem die abhängige Variable stationarisiert wurde und die unabhängigen Variablen alle Verzögerungen der abhängigen Variablen und der Verzögerungen der Fehler sind Um ein ARIMA-Modell zu erweitern, um Informationen, die von führenden Indikatoren und anderen exogenen Variablen bereitgestellt werden, zu integrieren: Sie fügen einfach einen oder mehrere Regressoren zur Prognose-Gleichung hinzu. Alternativ können Sie sich ein hybrides ARIMAregressionsmodell als Regressionsmodell vorstellen, das eine Korrektur für autokorrelierte Fehler enthält. Wenn Sie ein multiples Regressionsmodell eingerichtet haben und feststellen, dass seine verbleibenden ACF - und PACF-Diagramme eine identifizierbare autoregressive oder gleitende durchschnittliche quotsignaturequot (z. B. ein signifikantes Muster von Autokorrelationen und oder partielle Autokorrelationen bei den ersten paar Verzögerungen und die saisonale Verzögerung) anzeigen, dann könnten Sie Wollen das Hinzufügen von ARIMA-Terme (Verzögerungen der abhängigen Variablen und der Fehler) zum Regressionsmodell berücksichtigen, um die Autokorrelation zu beseitigen und den mittleren quadratischen Fehler weiter zu reduzieren. Zu diesem Zweck würden Sie das Regressionsmodell einfach als ein ARIMA-Modell mit Regressoren neu anordnen, und Sie würden die entsprechenden AR - und MA-Bedingungen festlegen, um das Muster der Autokorrelation, die Sie in den ursprünglichen Residuen beobachtet haben, anzupassen. Die meisten High-End-Prognose-Software bietet eine oder mehrere Optionen für die Kombination der Funktionen von ARIMA und mehrere Regressionsmodelle. Im Forecasting-Verfahren in Statgraphics können Sie dies tun, indem Sie quotARIMAquot als Modelltyp angeben und dann auf die Schaltfläche "QuoteRegressionquot" klicken, um Regressoren hinzuzufügen. (Leider sind Sie auf 5 zusätzliche Regressoren beschränkt.) Wenn Sie einen Regressor zu einem ARIMA-Modell in Statgraphics hinzufügen, fügt es buchstäblich den Regressor direkt zur rechten Seite der ARIMA-Prognose-Gleichung hinzu. Um einen einfachen Fall zu verwenden, nehmen Sie an, dass Sie zuerst ein ARIMA (1,0,1) Modell ohne Regressoren anpassen. Dann ist die von Statgraphics geplante Prognosemethode: die umschreibbar ist als: (Anmerkung: Es handelt sich um eine mathematische Standardform, die häufig für ARIMA-Modelle verwendet wird. Alle Begriffe, die die abhängige Variable - dh alle AR-Begriffe und Differenzen - betreffen, sind Die auf der linken Seite der Gleichung gesammelt werden, während alle Begriffe, die die Erorrs betreffen, dh die MA-Begriffe, auf der rechten Seite gesammelt werden.) Wenn Sie nun ein Regressor X zum Prognosemodell hinzufügen, Gleichung von Statgraphics ist: So wird der AR-Teil des Modells (und auch die differenzierende Transformation, falls vorhanden) auf die X-Variable genau so angewendet, wie sie auf die Y-Variable angewandt wird, bevor X mit der Regression multipliziert wird Koeffizient. Dies bedeutet effektiv, daß das ARIMA (1,0,1) - Modell den Fehlern der Regression von Y auf X (d. H. Der Reihe QY minus & beta; Xquot) angepaßt ist. Wie können Sie feststellen, ob es hilfreich sein könnte, einem ARIMA-Modell einen Regressor hinzuzufügen. Ein Ansatz wäre es, die RESIDUALS des ARIMA-Modells zu speichern und dann auf ihre Kreuzkorrelationen mit anderen möglichen Erklärungsvariablen zu schauen. Zum Beispiel erinnern wir uns, dass wir zuvor ein Regressionsmodell auf saisonbereinigte Autoverkäufe ausgerichtet hatten, in denen sich die LEADIND-Variable (Index von elf führenden Wirtschaftsindikatoren) zusätzlich zu den Verzögerungen der stationären Umsatzvariable als signifikant erwiesen hat. Vielleicht wäre LEADIND auch als Regressor im saisonalen ARIMA-Modell hilfreich, das wir später an Autoverkäufen angepasst haben. Um diese Hypothese zu testen, wurden die RESIDUALS aus dem ARIMA (0,1,1) x (0,1,1) Modell, das an AUTOSALE angepasst wurde, gespeichert. Ihre Kreuzkorrelationen mit DIFF (LOG (LEADIND)), aufgetragen im Verfahren der deskriptiven Methoden, sind wie folgt: (Ein paar kleine technische Punkte, die hier zu beachten sind: Wir haben LEADIND protokolliert und differenziert, um es zu stationarisieren, weil die RESIDUALS der ARIMA - Modell werden auch protokolliert und differenziert - dh ausgedrückt in Einheiten prozentualer Veränderung Auch die Prozedur "Beschreibende Methoden" wie die Prognose-Prozedur mögen keine Variablen, die mit zu vielen fehlenden Werten beginnen, hier die fehlenden Werte am Anfang der RESIDUALS Variablen wurden durch Nullen ersetzt - typisiert in der Hand - vor dem Ausführen des Verfahrens der Beschreibungsmethoden. Eigentlich soll die Prognoseprozedur automatisch Kreuzkorrelationsdiagramme der Residuen gegenüber anderen Variablen zeichnen, aber der Graph, der als " Korrelation Plotquot zeigt nur die Kreuzkorrelationen der Eingangsvariablen gegenüber anderen Variablen an.) Wir sehen, dass die signifikanteste Kreuzkorrelation bei Verzögerung 0 liegt, aber leider können wir das für die Prognose eines Monats nicht verwenden. Stattdessen müssen wir versuchen, die kleineren Kreuzkorrelationen in den Lags 1 und 2 auszunutzen. Als ein schneller Test, ob LAG (LOG (LEADIND)) wahrscheinlich unser ARIMA-Modell hinzufügen, können wir die Multiple Regression verwenden Um RESIDUALS auf Verzögerungen von DIFF (LOG (LEADIND)) zurückzuziehen. Hier ist das Ergebnis des Rückgangs von RESIDUALS auf LAG (DIFF (LOG (LEADIND)), 1): Der R-Quadrat-Wert von nur 3,66 deutet darauf hin, dass nicht viel Verbesserung möglich ist. (Wenn zwei Verzögerungen von DIFF (LOG (LEADIND)) verwendet werden, erhöht sich das R-Quadrat nur auf 4,06.) Wenn wir zum ARIMA-Verfahren zurückkehren und LAG (DIFF (LOG (LEADIND)) addieren, 1) als Regressor, Erhalten wir die folgenden Modell-Anpassungsergebnisse: (Kleiner technischer Punkt hier: Wir haben die Werte von LAG (DIFF (LOG (LEADIND)), 1) in einer neuen Spalte, in die beiden fehlenden Werte am Anfang mit Nullen gefüllt, und (LOG (LEADIND)) gleichzeitig mit den anderen Parametern des Modells geschätzt wird, ist es sogar noch bedeutungsloser als im Regressionsmodell für den Fall, dass ein Koeffizient für die Verzögerung von DIFF (LOG (LEADIND) RÜCKSTÄNDE. Die Verbesserung der root-mean-squared Fehler ist einfach zu klein, um spürbar zu sein. Das negative Ergebnis, das wir hier erhalten haben, sollte nicht vermutet werden, dass Regressoren bei ARIMA-Modellen oder anderen Zeitreihenmodellen niemals hilfreich sein werden. Zum Beispiel sind Variablen, die Werbung oder Preisniveaus oder das Auftreten von Werbeaktionen messen, oft hilfreich bei der Erweiterung von ARIMA-Modellen (und exponentiellen Glättungsmodellen) für die Prognose des Umsatzes auf der Ebene der Firma oder des Produkts. Denken Sie daran, dass die hier analysierte Variable - bundesweiter Vertrieb bei Automobilhändlern - eine sehr aggregierte makroökonomische Zeitreihe ist. Wir haben inzwischen gelernt, dass die Auswirkungen auf eine makroökonomische Variable von Ereignissen, die in früheren Perioden aufgetreten sind (z. B. Veränderungen in verschiedenen ökonomischen Faktoren, die den Index der Frühindikatoren bilden) häufig am deutlichsten in der Vorgeschichte dieser Variablen selbst dargestellt werden. Folglich können verzögerte Werte anderer makroökonomischer Zeitreihen wenig zu einem Prognosemodell hinzufügen, das die Geschichte der ursprünglichen Zeitreihe bereits vollständig ausgeschöpft hat. Führende ökonomische Indikatoren sind oft sinnvoller, wenn sie so angewandt werden, wie sie beabsichtigt sind - und zwar als Indikatoren für Wendepunkte in Konjunkturzyklen, die die Richtung längerfristiger Trendprojektionen beeinflussen können. Einführung in ARIMA: Nichtseasonalmodelle ARIMA (p, d , Q) Prognose der Gleichung: ARIMA-Modelle sind in der Theorie die allgemeinste Klasse von Modellen zur Prognose einer Zeitreihe, die durch Differenzierung (ggf.), möglicherweise in Verbindung mit nichtlinearen Transformationen wie Logging oder Deflating, Falls benötigt). Eine Zufallsvariable, die eine Zeitreihe ist, ist stationär, wenn ihre statistischen Eigenschaften alle über die Zeit konstant sind. Eine stationäre Reihe hat keinen Trend, ihre Variationen um ihren Mittelwert haben eine konstante Amplitude, und sie wackelt in einer konsistenten Weise. D. h. seine kurzzeitigen Zufallszeitmuster sehen immer im statistischen Sinne gleich aus. Die letztgenannte Bedingung bedeutet, daß ihre Autokorrelationen (Korrelationen mit ihren eigenen vorherigen Abweichungen vom Mittelwert) über die Zeit konstant bleiben oder daß ihr Leistungsspektrum über die Zeit konstant bleibt. Eine zufällige Variable dieser Form kann (wie üblich) als eine Kombination von Signal und Rauschen betrachtet werden, und das Signal (wenn eines offensichtlich ist) könnte ein Muster einer schnellen oder langsamen mittleren Reversion oder einer sinusförmigen Oszillation oder eines schnellen Wechsels im Vorzeichen sein , Und es könnte auch eine saisonale Komponente. Ein ARIMA-Modell kann als ein 8220filter8221 betrachtet werden, der versucht, das Signal vom Rauschen zu trennen, und das Signal wird dann in die Zukunft extrapoliert, um Prognosen zu erhalten. Die ARIMA-Vorhersagegleichung für eine stationäre Zeitreihe ist eine lineare Gleichung (d. H. Regressionstyp), bei der die Prädiktoren aus Verzögerungen der abhängigen Variablen und oder Verzögerungen der Prognosefehler bestehen. Das heißt: Vorhergesagter Wert von Y eine Konstante undeine gewichtete Summe aus einem oder mehreren neuen Werten von Y und einer gewichteten Summe aus einem oder mehreren neuen Werten der Fehler. Wenn die Prädiktoren nur aus verzögerten Werten von Y bestehen, handelt es sich um ein reines autoregressives Modell (8220 selbst-regressed8221), das nur ein Spezialfall eines Regressionsmodells ist und mit einer Standard-Regressions-Software ausgestattet werden kann. Beispielsweise ist ein autoregressives Modell erster Ordnung (8220AR (1) 8221) für Y ein einfaches Regressionsmodell, bei dem die unabhängige Variable nur um eine Periode (LAG (Y, 1) in Statgraphics oder YLAG1 in RegressIt) verzögert ist. Wenn einige der Prädiktoren Verzögerungen der Fehler sind, handelt es sich bei einem ARIMA-Modell nicht um ein lineares Regressionsmodell, da es keine Möglichkeit gibt, 8220last period8217s error8221 als unabhängige Variable festzulegen: Die Fehler müssen auf einer Periodenperiode berechnet werden Wenn das Modell an die Daten angepasst ist. Aus technischer Sicht ist das Problem der Verwendung von verzögerten Fehlern als Prädiktoren, dass die Vorhersagen von model8217s keine linearen Funktionen der Koeffizienten sind. Obwohl es sich um lineare Funktionen der vergangenen Daten handelt. Daher müssen Koeffizienten in ARIMA-Modellen, die verzögerte Fehler enthalten, durch nichtlineare Optimierungsmethoden (8220hill-climbing8221) abgeschätzt werden, anstatt nur ein Gleichungssystem zu lösen. Das Akronym ARIMA steht für Auto-Regressive Integrated Moving Average. Verzögerungen der stationären Reihe in der Prognose-Gleichung werden als autoregressiveQuot-Terme bezeichnet, die Verzögerungen der Prognosefehler werden als mittlere mittlere quot-Terme bezeichnet, und eine Zeitreihe, die differenziert werden muß, um stationär gemacht zu werden, wird als eine integrierte quotierte Version einer stationären Reihe bezeichnet. Random-walk und random-trend Modelle, autoregressive Modelle und exponentielle Glättungsmodelle sind alle Sonderfälle von ARIMA Modellen. Ein nicht-saisonales ARIMA-Modell wird als ein quotarIMA-Modell (p, d, q) klassifiziert, wobei p die Anzahl der autoregressiven Terme ist, d die Anzahl der für die Stationarität benötigten nicht-seasonalen Differenzen ist und q die Anzahl der verzögerten Prognosefehler ist Die Vorhersagegleichung. Die Vorhersagegleichung ist wie folgt aufgebaut. Zuerst bezeichne y die d - te Differenz von Y. Das bedeutet, daß die zweite Differenz von Y (der Fall d2) nicht die Differenz von 2 Perioden ist. Es ist vielmehr die erste Differenz der ersten Differenz. Was das diskrete Analogon einer zweiten Ableitung ist, d. h. die lokale Beschleunigung der Reihe anstatt ihres lokalen Takts. In Bezug auf y. Ist die allgemeine Prognosegleichung: Hier sind die gleitenden Durchschnittsparameter (9528217s) so definiert, daß ihre Vorzeichen in der Gleichung negativ sind, und zwar nach der Konvention von Box und Jenkins. Einige Autoren und Software (einschließlich der Programmiersprache R) definieren sie so, dass sie stattdessen Pluszeichen haben. Wenn tatsächliche Zahlen in die Gleichung gesteckt werden, gibt es keine Mehrdeutigkeit, aber es ist wichtig zu wissen, welche Konvention Ihre Software verwendet, wenn Sie die Ausgabe lesen. Oft werden dort die Parameter mit AR (1), AR (2), 8230 und MA (1), MA (2), 8230 usw. bezeichnet. Um das entsprechende ARIMA-Modell für Y zu identifizieren, beginnt man die Reihenfolge der Differenzierung zu bestimmen (D) Notwendigkeit, die Serie zu stationarisieren und die Brutto-Merkmale der Saisonalität zu entfernen, möglicherweise in Verbindung mit einer variationsstabilisierenden Transformation, wie z. B. Protokollierung oder Entleerung. Wenn Sie an diesem Punkt anhalten und voraussagen, dass die differenzierten Serien konstant sind, haben Sie lediglich ein zufälliges oder zufälliges Trendmodell angebracht. Die stationäre Reihe kann jedoch weiterhin autokorrelierte Fehler aufweisen, was nahe legt, daß in der Vorhersagegleichung auch einige Anzahl von AR-Terme (p 8805 1) und einige MA-MA-Terme (q 8805 1) benötigt werden. Der Prozess der Bestimmung der Werte von p, d und q, die für eine gegebene Zeitreihe am besten sind, werden in späteren Abschnitten der Notizen (deren Links oben auf dieser Seite sind), aber eine Vorschau von einigen der Typen erörtert Von nicht-saisonalen ARIMA-Modellen, die üblicherweise angetroffen werden, ist unten angegeben. ARIMA (1,0,0) erstes autoregressives Modell: Wenn die Serie stationär und autokorreliert ist, kann sie vielleicht als ein Vielfaches ihres eigenen vorherigen Wertes plus einer Konstante vorhergesagt werden. Die Prognose-Gleichung ist in diesem Fall 8230, die Y auf sich selbst zurückgeblieben um eine Periode zurückgeblieben ist. Dies ist ein 8220ARIMA (1,0,0) constant8221 Modell. Wenn der Mittelwert von Y Null ist, dann würde der konstante Term nicht eingeschlossen werden. Wenn der Steigungskoeffizient 981 & sub1; positiv und kleiner als 1 in der Grße ist (er muß kleiner als 1 in der Grße sein, wenn Y stationär ist), beschreibt das Modell ein Mittelrücksetzverhalten, bei dem der nächste Periodenblockwert 981 1 mal als vorhergesagt werden sollte Weit weg vom Durchschnitt, wie dieser Zeitraum8217s Wert. Wenn 981 & sub1; negativ ist, prognostiziert es ein Mittelwert-Wiederherstellungsverhalten mit einer Veränderung von Vorzeichen, d. h. es sagt auch voraus, daß Y unterhalb der mittleren nächsten Periode liegt, wenn sie über dem Mittel dieser Periode liegt. In einem autoregressiven Modell zweiter Ordnung (ARIMA (2,0,0)), würde es auch einen Yt-2-Term auf der rechten Seite geben, und so weiter. Abhängig von den Zeichen und Größen der Koeffizienten kann ein ARIMA (2,0,0) - Modell ein System beschreiben, dessen mittlere Reversion sinusförmig oszillierend erfolgt, wie die Bewegung einer Masse auf einer Feder, die zufälligen Schocks ausgesetzt ist . ARIMA (0,1,0) zufälliger Weg: Wenn die Reihe Y nicht stationär ist, ist das einfachste mögliche Modell ein zufälliges Wandermodell, das als Begrenzungsfall eines AR (1) - Modells betrachtet werden kann, in dem die autoregressive Koeffizient ist gleich 1, dh eine Reihe mit unendlich langsamer mittlerer Reversion. Die Vorhersagegleichung für dieses Modell kann folgendermaßen geschrieben werden: wobei der konstante Term die mittlere Periodenperiodenänderung (dh die Langzeitdrift) in Y ist. Dieses Modell könnte als ein No-Intercept-Regressionsmodell angepasst werden, in dem die Die erste Differenz von Y ist die abhängige Variable. Da es nur einen nicht sonderbaren Unterschied und einen konstanten Term enthält, wird er als quotarima (0,1,0) - Modell mit constant. quot klassifiziert. Das random-walk-ohne - driftmodell wäre ein ARIMA (0,1, 0) - Modell ohne konstantes ARIMA (1,1,0) differenziertes autoregressives Modell erster Ordnung: Wenn die Fehler eines Zufallswegmodells autokorreliert werden, kann das Problem möglicherweise durch Hinzufügen einer Verzögerung der abhängigen Variablen zu der Vorhersagegleichung - - ie Durch Rückgang der ersten Differenz von Y auf sich selbst verzögert um eine Periode. Dies würde die folgende Vorhersagegleichung ergeben, die umgeordnet werden kann: Dies ist ein autoregressives Modell erster Ordnung mit einer Ordnung der Nichtsaisonaldifferenzierung und einem konstanten Term - d. e. Ein ARIMA (1,1,0) - Modell. ARIMA (0,1,1) ohne konstante einfache exponentielle Glättung: Eine weitere Strategie zur Korrektur autokorrelierter Fehler in einem Random-Walk-Modell wird durch das einfache exponentielle Glättungsmodell vorgeschlagen. Es sei daran erinnert, dass für einige nichtstationäre Zeitreihen (z. B. diejenigen, die geräuschschwankungen um einen langsam variierenden Mittelwert aufweisen) das Zufallswegmodell nicht ebenso gut funktioniert wie ein gleitender Durchschnitt von vergangenen Werten. Mit anderen Worten, anstatt die letzte Beobachtung als Prognose der nächsten Beobachtung zu nehmen, ist es besser, einen Durchschnitt der letzten Beobachtungen zu verwenden, um das Rauschen herauszufiltern und das lokale Mittel genauer zu schätzen. Das einfache exponentielle Glättungsmodell verwendet einen exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt vergangener Werte, um diesen Effekt zu erzielen. Die Vorhersagegleichung für das einfache exponentielle Glättungsmodell kann in einer Anzahl mathematisch äquivalenter Formen geschrieben werden. Von denen eine die sogenannte 8220-Fehlerkorrektur8221-Form ist, in der die vorhergehende Prognose in der Richtung ihres Fehlers angepasst wird: Weil e t-1 Y t-1 - 374 t-1 per Definition umgeschrieben werden kann : Es handelt sich um eine ARIMA (0,1,1) - konstante Vorhersagegleichung mit 952 1 1 - 945. Dies bedeutet, dass Sie eine einfache exponentielle Glättung durch Angabe als ARIMA (0,1,1) - Modell ohne passen Konstant und der geschätzte MA (1) - Koeffizient entspricht 1-minus-alpha in der SES-Formel. Denken Sie daran, dass im SES-Modell das durchschnittliche Alter der Daten in den 1-Periodenprognosen 1 945 beträgt, was bedeutet, dass sie tendenziell hinter Trends oder Wendepunkten um etwa 1 945 Perioden zurückbleiben werden. Daraus folgt, dass das Durchschnittsalter der Daten in den 1-Periodenprognosen eines ARIMA-Modells (0,1,1) ohne Konstante 1 (1 - 952 1) ist. Wenn beispielsweise 952 1 0,8 beträgt, ist das Durchschnittsalter 5. Da sich 952 1 1 nähert, wird das ARIMA-Modell (0,1,1) ohne Konstante zu einem sehr langfristigen gleitenden Durchschnitt und als 952 1 Ansätze 0 wird es ein random-walk-ohne-Drift-Modell. What8217s der beste Weg, um für Autokorrelation zu korrigieren: Hinzufügen von AR-Begriffe oder Hinzufügen von MA-Begriffen In den vorherigen beiden Modellen, die oben diskutiert wurden, wurde das Problem der autokorrelierten Fehler in einem zufälligen Fußmodell auf zwei verschiedene Arten behoben: durch Hinzufügen eines Verzögerungswertes der differenzierten Reihe Auf die Gleichung oder das Hinzufügen eines verzögerten Wertes des Prognosefehlers. Welcher Ansatz am besten ist Eine Regel für diese Situation, die später noch ausführlicher diskutiert wird, besteht darin, dass die positive Autokorrelation normalerweise am besten durch Hinzufügen eines AR-Terms zum Modell behandelt wird und negative Autokorrelation in der Regel am besten durch Hinzufügen eines MA-Semester. In der Wirtschafts - und Wirtschaftszeitreihe entsteht häufig eine negative Autokorrelation als Artefakt der Differenzierung. (Im allgemeinen differenziert die Differenzierung die positive Autokorrelation und kann sogar einen Wechsel von positiver zu negativer Autokorrelation bewirken.) Daher wird das ARIMA (0,1,1) - Modell, in dem die Differenzierung von einem MA-Begriff begleitet wird, häufiger verwendet als ein ARIMA (1,1,0) - Modell. ARIMA (0,1,1) mit konstanter einfacher exponentieller Glättung mit Wachstum: Durch die Implementierung des SES-Modells als ARIMA-Modell gewinnen Sie tatsächlich etwas Flexibilität. Zuerst darf der geschätzte MA (1) - Koeffizient negativ sein. Dies entspricht einem Glättungsfaktor von mehr als 1 in einem SES-Modell, das nach dem SES-Modellanpassungsverfahren meist nicht zulässig ist. Zweitens haben Sie die Möglichkeit, einen konstanten Begriff in das ARIMA-Modell aufzunehmen, wenn Sie es wünschen, um einen durchschnittlichen Trend, der nicht Null ist, abzuschätzen. Das Modell ARIMA (0,1,1) mit Konstante hat die Vorhersagegleichung: Die Ein-Perioden-Prognosen aus diesem Modell sind qualitativ denjenigen des SES-Modells ähnlich, mit der Ausnahme, dass die Trajektorie der Langzeitprognosen typischerweise a ist (Deren Neigung gleich mu ist) und nicht eine horizontale Linie. ARIMA (0,2,1) oder (0,2,2) ohne konstante lineare Exponentialglättung: Lineare exponentielle Glättungsmodelle sind ARIMA-Modelle, die zwei nicht-sauren Differenzen in Verbindung mit MA-Begriffen verwenden. Die zweite Differenz einer Folge Y ist nicht einfach die Differenz von Y und selbst von zwei Perioden verzögert, sondern sie ist die erste Differenz der ersten Differenz - i. e. Die Änderung in der Änderung von Y in der Periode t. Somit ist die zweite Differenz von Y in der Periode t gleich (Yt - Yt - 1) - (Yt - 1 - Yt - 2) Yt - 2Yt - 1Yt - 2. Eine zweite Differenz einer diskreten Funktion ist analog zu einer zweiten Ableitung einer stetigen Funktion: sie mißt zu einem gegebenen Zeitpunkt die Quota-Beschleunigung quot oder quotvequot in der Funktion. Das ARIMA (0,2,2) - Modell ohne Konstante sagt voraus, daß die zweite Differenz der Reihe eine lineare Funktion der letzten beiden Prognosefehler ist, die umgeordnet werden können: wobei 952 1 und 952 2 die MA (1) und MA (2) Koeffizienten. Dies ist ein allgemeines lineares exponentielles Glättungsmodell. Im Wesentlichen das gleiche wie Holt8217s Modell, und Brown8217s Modell ist ein spezieller Fall. Es verwendet exponentiell gewichtete gleitende Mittelwerte, um sowohl eine lokale Ebene als auch einen lokalen Trend in der Reihe abzuschätzen. Die Langzeitprognosen von diesem Modell konvergieren zu einer Geraden, deren Steigung von dem durchschnittlichen Trend abhängt, der gegen Ende der Reihe beobachtet wird. ARIMA (1,1,2) ohne konstante gedämpfte lineare Exponentialglättung. Dieses Modell ist in den begleitenden Dias auf ARIMA-Modellen dargestellt. Es extrapoliert die lokale Tendenz am Ende der Serie, sondern flacht es auf längere Prognose Horizonte, um eine Notiz von Konservatismus, eine Praxis, die empirische Unterstützung hat einzuführen. Siehe den Artikel auf quotWarum die Damped Trend Werke von Gardner und McKenzie und die quotGolden Rulequot Artikel von Armstrong et al. für Details. Es ist grundsätzlich ratsam, bei Modellen zu bleiben, bei denen mindestens einer von p und q nicht größer als 1 ist, dh nicht versuchen, ein Modell wie ARIMA (2,1,2) anzubringen, da dies zu Überbeanspruchungen führen kann Die in den Anmerkungen zur mathematischen Struktur von ARIMA-Modellen näher erläutert werden. Spreadsheet-Implementierung: ARIMA-Modelle wie die oben beschriebenen lassen sich einfach in einer Tabellenkalkulation implementieren. Die Vorhersagegleichung ist einfach eine lineare Gleichung, die sich auf vergangene Werte von ursprünglichen Zeitreihen und vergangenen Werten der Fehler bezieht. Auf diese Weise können Sie eine ARIMA-Prognosekalkulation einrichten, indem Sie die Daten in Spalte A, die Prognoseformel in Spalte B und die Fehler (Daten minus Prognosen) in Spalte C speichern. Die Prognoseformel in einer typischen Zelle in Spalte B wäre einfach Ein linearer Ausdruck, der sich auf Werte in vorhergehenden Zeilen der Spalten A und C bezieht, multipliziert mit den entsprechenden AR - oder MA-Koeffizienten, die in Zellen an anderer Stelle auf der Kalkulationstabelle gespeichert sind.